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如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上與A、B不同的任意一點，P是半徑OC上的動點，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值是
-2
-2
．
分析：根據O為AB的中點，推出(
PA
+
PB
)•
PC
=2
PO
•
PC
，又由OPC三點共線，得到|
PO
|+|
PC
|=|
OC
|=2為定值，然后推出(
PA
+
PB
)•
PC
 的最小值．
解答：解：因為O為AB的中點，
所以
PA
+
PB
=2
PO
，
從而則(
PA
+
PB
)•
PC
=2
PO
•
PC
=-2|
PO
||
PC
|；
又由OPC三點共線
又|
PO
|+|
PC
|=|
OC
|=2為定值，
因為|
PO
||
PC
|≤(
|
PO
|+|
PC
|
2
 )2
所以當且僅當|
PO
|=|
PC
|=1，
即P為OC的中點時，
(
PA
+
PB
)•
PC
取得最小值是-2，
故答案為：-2
點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，基本不等式，利用基本不等式是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值是（　　）
A、2B、0C、-1D、-2

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•南京二模）如圖，半圓的直徑AB=2，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值是
-
1
2
-
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，半圓的直徑AB=6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值為（　　）
A、
9
2
B、9
C、-
9
2
D、-9

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，半圓的直徑AB=2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點，若P是半徑OC上的動點．
（I）試用
OA
，
OP
表示
PA
，
PB
；
（II）若點P是OC的中點，求
PA
•
PB
的值；
（III）求（
PA
+
PB
）•
PC
的最小值．

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