在平面直角坐標系
中，點
到點
的距離比它到
軸的距離多1，記點的軌跡為
.
（1）求軌跡為的方程
（2）設斜率為
的直線
過定點
，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍.
（1）
；（2）當
時直線與軌跡恰有一個公共點； 當
時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點；當
時，故此時直線與軌跡恰有三個公共點.
解析試題分析：（1）設點
，根據條件列出等式
，在用兩點間的距離公式表示
，化簡整理即得；（2）在點的軌跡中，記
，
，設直線的方程為
，聯立方程組
整理得
，分類討論①
時；② 
；③ 
或
；④ 
，確定直線與軌跡的公共點的個數.
（1）設點，依題意，，即
，
整理的
，
所以點的軌跡的方程為.
（2）在點的軌跡中，記，，
依題意，設直線的方程為，
由方程組得 ①
當時，此時
，把代入軌跡的方程得
，
所以此時直線與軌跡恰有一個公共點
.
當
時，方程①的判別式為
②
設直線與
軸的交點為
，則由，令
，得
③
（ⅰ）若，由②③解得
或
.
即當時，直線與
沒有公共點，與
有一個公共點，
故此時直線與軌跡恰有一個公共點.
（ⅱ）若或，由②③解得
或
，
即當時，直線與有一個共點，與有一個公共點.
當
科學實驗活動冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
（
）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的左焦點，T為直線
上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.
（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；
（ii）當
最小時，求點T的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線
的右焦點
,點
分別在
的兩條漸近線上，軸，
∥
(
為坐標原點）.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過
上一點
的直線
與直線相交于點
，與直線
相交于點
，證明點
在
上移動時，
恒為定值，并求此定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
（
）的左、右焦點為
，右頂點為
，上頂點為
．已知
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設
為橢圓上異于其頂點的一點，以線段
為直徑的圓經過點
，經過原點
的直線
與該圓相切，求直線的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的右焦點為
，點
是橢圓上任意一點，圓
是以
為直徑的圓．
（1）若圓過原點
，求圓的方程；
（2）寫出一個定圓的方程，使得無論點在橢圓的什么位置，該定圓總與圓相切,請寫出你的探究過程． 
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左右頂點分別為
，離心率
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點
為曲線
:
上任一點（點不同于
），直線
與直線
交于點
，
為線段
的中點，試判斷直線
與曲線的位置關系，并證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F(1，0)，C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M(4，0)的直線l與拋物線C2分別相交于A ，B兩點．
(1)如圖所示，若
，求直線l的方程；
(2)若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分6分．
已知橢圓
過點
，兩焦點為
、
，
是坐標原點，不經過原點的直線
與橢圓交于兩不同點
、
.
(1)求橢圓C的方程；
(2) 當
時，求
面積的最大值；
(3) 若直線
、
、
的斜率依次成等比數列，求直線
的斜率
.
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過點
，
，C、D在該橢圓上，直線CD過原點O，且在線段AB的右下側．