Question

將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形與一個圓形，則當它們的面積之積最大時，正方形與圓的周長之比為（　　）

A．1：1

B．π：4

C．4：π

D．2：π

Answer 1

分析：正確理解題意，充分應用正方形的知識和圓的知識，表示出兩種圖形的面積．構造目標函數后結合目標函數的特點--一元二次函數，利用二次函數的性質求最值．

解答：解：設正方形周長為x，則圓的周長為1-x，半徑r=

1-x

2π

．
∴S_正=（

x

4

）²=

x2

16

，S_圓=π•

(1-x)2

4π2

．
∴S_正×S_圓=

x2(1-x)2

64π2

≤

1

16×64×π2

（0＜x＜1）．
∴當且僅當x=

1

2

時有最小值．
此時正方形與圓的周長之比為1：1
故選A．

點評：本題充分考查了正方形和圓的知識，目標函數的思想還有一元二次函數求最值的知識．在解答過程當中要時刻注意定義域優先的原則．