Question

已知AB、CD為異面線段，E、F分別為AC、BD中點，過E、F作   平面α∥AB．
（1）求證：CD∥α；
（2）若AB=4，EF=

5

，CD=2，求AB與CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接AD交α于G，連接GF，由線面平行的性質定理，可得AB∥GF，進而由線面平行的判定定理可證得CD∥α；
（2）根據平行角定理，結合（1）中結論可得∠EGF與AB，CD所成的角相等或互補，根據已知解三角形△EGF可得答案．

解答：證明：（1）如圖，連接AD交α于G，連接GF
∵平面α∥AB
平面ADB∩α=GF
∴AB∥GF
又∵F為BD中點，
∴G為AD中點
又∵AC，AD相交，平面ACD∩α=EG，E為AC中點，G為AD中點
∴EG∥CD
又EG?α，CD?α
∴CD∥α；
解：（2）由（1）可得EG∥CD且EG=

1

2

CD，GF∥AB且GF=

1

2

AB
∴∠EGF與AB，CD所成的角相等或互補
∵AB=4，EF=

5

，CD=2，
∴EG=1，
在△EGF中，由勾股定理，得∠EGF=90°
即AB與CD所成角為90°

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，異面直線及其所成的角，熟練掌握空間線面關系的判定及性質，會用平移法構造異面直線所成的角是解答的關鍵．