Question

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=

3

2

，已知點P（0，

3

2

）到這個橢圓上的點最遠距離是

7

．求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于

7

的點的坐標．

Answer 1

根據題設條件，可取橢圓的參數方程是

x=acosθ y=bsinθ

，其中0≤θ＜2π，
由e2=

c2

a2

=1-(

b

a

)2可得

b

a

=

1-e2

=

1- 3 4

=

1

2

，即a=2b．
設橢圓上的點（x，y）到點P的距離為d，則
d2=x2+(y-

3

2

)2
=a2cos2θ+(bsinθ-

3

2

)2
=a2-(a2-b2) sin2θ-3bsinθ+

9

4

=4b2-3b2sin2θ-3bsinθ+

9

4

=-3b2(sinθ+

1

2b

)2+4b2+3．
如果

1

2b

＞1，即b＜

1

2

，則當sinθ=-1時，d²有最大值，由題設得(

7

)2=(b+

3

2

)2，
由此得b=

7

-

3

2

＞

1

2

，與b＜

1

2

矛盾．
因此必有

1

2b

≤1成立，于是當sinθ=-

1

2b

時，d²有最大值，由題設得(

7

)2=4b2+3，
由此可得b=1，a=2．
所求橢圓的參數方程是

x=2cosθ y=sinθ

，由sinθ=-

1

2

，cosθ=±

3

2

可得，
橢圓上的點(-

3

，-

1

2

)和(

3

，-

1

2

)到點P的距離都是

7

．