Question

（2010•順德區模擬）已知函數f（x）=-x²+ax-b．
（1）若a，b都是從0，1，2，3，4五個數中任取的一個數，求上述函數有零點的概率．
（2）若a，b都是從區間[0，4]任取的一個數，求f（1）＞0成立時的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件a，b都從0，1，2，3，4五個數中任取的一個數的基本事件總數為5×5個，函數有零點的條件為△=a²-4b≥0，即a²≥4b，列舉出所有事件的結果數，得到概率．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發生包含的事件可以寫出a，b滿足的條件，滿足條件的事件也可以寫出，畫出圖形，做出兩個事件對應的圖形的面積，得到比值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發生包含的事件a，b都從0，1，2，3，4五個數中任取的一個數的
基本事件總數為N=5×5=25個
函數有零點的條件為△=a²-4b≥0，即a²≥4b
∵事件“a²≥4b”包含：（0，0），（1，0），（2，0），
（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）
∴事件“a²≥4b”的概率為p=

12

25

；

（2）f（1）=-1+a-b＞0，∴a-b＞1
則a，b都是從區間[0，4]任取的一個數，有f（1）＞0，
即滿足條件：

0≤a≤4 0≤b≤4 a-b＞1

轉化為幾何概率如圖所示，
∴事件“f（1）＞0”的概率為p=

1 2 ×3×3

4×4

=

9

32

點評：古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．