Question

對于三次函數f(x)=x³-3x²-3mx+4(其中m為常數）存在極值，請回答下列問題.

（1）求f(x)的單調區間及極值；

（2）當f(x)的極大值為5時，求m的值；

（3）求曲線y=f(x)的切線中過原點的切線方程.

Answer 1

分析：對于（1）由f′(x)=0的根的情況以及f′(x)在相應區間上的符號來確定.對于（2）由(1)確定的極值點，通過解方程求m.（3）求曲線的切線方程時，要注意原點不是切點.

解：（1）f(x)=x³-3x²-3mx+4.

由f′(x)=3x²-6x-3m=0.

得3x²-6x-3m=0,Δ=36(m+1).

由于三次函數f(x)=x³-3x²-3mx+4有極值的條件是f′(x)=0必須有相異二實根.

∴當Δ≤0,

即m≤-1時，函數無極值.

當Δ＞0,

即m＞-1時，函數有極值.

設f′(x)=0相異實根分別為α、β,其中α=1-,β=1+(m＞-1),則x變化時，y′、y的變化情況如下表：

x	(-∞,α)	α	(α,β)	β	(β,+∞)
y′	+	0	-	0	+
y	↗	極大	↘	極小	↗

∴當x=1-m+1時,f(x)_極大值=f(α)

=(1-)³-3(1-)²-3m(1-)+4

=2(m+1)-3m+2.

當x=1+時,f(x)_極小值=f(β)

=(1+)³-3(1+)²-3m(1+)+4

=-2(m+1) -3m+2.

單調增區間為（-∞,1-）及(1+,+∞);

單調減區間為（1-,1+）.

（2）令2(m+1)-3m+2=5.

解得m=,

即m=時，y=f(x)取極大值5.

（3）設曲線過點（x₁,x₁³-3x₁²-3mx₁+4)的切線過原點，此時切線斜率為k=3x₁²-6x₁-3m,切線方程為y=3(x₁²-2x₁-m)(x-x₁)+x₁³-3x₁²-3mx₁+4.

由于該切線過原點，

∴-3x₁(x₁²-2x₁-m)+x₁³-3x₁²-3mx₁+4=0.

即2x₁³-3x₁²-4=0,

即(x₁-2)(2x₁²+x₁+2)=0.

∴x₁=2.代入切線方程得：y=-3mx.