Question

已知橢圓：經過如下五個點中的三個點：，，，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點為橢圓的左頂點，為橢圓上不同于點的兩點，若原點在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為和關于原點對稱，由橢圓的對稱性可知和在橢圓上。因為在橢圓上則和不在橢圓上。所以在橢圓上。解方程組可得的值。（Ⅱ）需討論哪個角為直角只討論和即可，因為點的位置沒有固定，和的情況相同。如當時，設直線，聯立方程消去消去得關于的一元二次方程，由韋達定理得根與系數的關系。根據，則直線垂直其斜率相乘等于，列式計算可得，則說明原點在的外部，符合條件，否則不符合條件舍掉。在求面積時若采用先求弦再求點到的距離最后求面積的方法計算過于繁瑣，所以求的面積時可用分割法，計算較簡單。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經過，，.

于是.

所以 橢圓的方程為：. 2分

（Ⅱ）①當時，設直線，由得

.設，則，

所以

.

于是，此時，所以 直線.

因為，故線段與軸相交于，即原點在線段的延長線上，即原點在的外部，符合題設. 6分

所以

.

當時取到最大值. 9分

②當時，不妨設.

設直線，由得.

所以 或.

所以，由，可得直線.

由得.

所以.

所以線段與軸相交于.

顯然原點在線段上，即原點在的內部，不符合題設.

綜上所述，所求的面積的最大值為. 12分

考點：1、橢圓的對稱性和方程；2、直線和橢圓的位置關系問題；3、三角形面積的求法。