Question

（2013•濟寧二模）已知函數g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax（a＞0）．
（I）求函數g（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，求實數a的最小值；
（Ⅲ）當a≥

1

4

時，若?x₁，x₂∈[e，e²]使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用導數的正負可得函數的單調區間；
（Ⅱ）由函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，可得f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，求出導函數的最值，即可求實數a的最小值；
（Ⅲ）當a≥

1

4

時，若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，等價于x∈[e，e²]，使f（x）_min≤f′（x）_max+a．求出最值，即可確定a的取值范圍．

解答：解：函數g（x），f（x）的定義域均為（0，1）∪（1，+∞），且f（x）=

x

lnx

-ax（a＞0）
（I）∵g′(x)=

lnx-1

(lnx)2

，∴x＞e時，g′（x）＞0，0＜x＜e且x≠1時，g′（x）＜0，
∴函數g（x）的單調增區間是（e，+∞），單調減區間為（0，1），（1，e）；
（Ⅱ）∵函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，
∴f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a≤0在（1，+∞）上恒成立
∵f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

-a
∴當

1

lnx

=

1

2

，即x=e²時，f′(x)max=

1

4

-a
∴

1

4

-a≤0
∴a≥

1

4

∴實數a的最小值

1

4

；
（Ⅲ）當a≥

1

4

時，若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，等價于x∈[e，e²]，使f（x）_min≤f′（x）_max+a．
由（Ⅱ）知，x∈[e，e²]，f′（x）_max=

1

4

-a
當a≥

1

4

時，可得f（x）在[e，e²]上為減函數，∴f（x）_min=f（e²）=

e2

2

-ae2
∴

e2

2

-ae2≤

1

4

∴a≥

1

2

-

1

4e2

，又

1

2

-

1

4e2

＞

1

4

，故實數a的取值范圍a≥

1

2

-

1

4e2

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．