Question

已知函數．
(Ⅰ)若無極值點，但其導函數有零點，求的值；
(Ⅱ)若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明的極小值小于．

Answer 1

(Ⅰ) （Ⅱ），利用單調性證明

試題分析：(Ⅰ)首先，  ，有零點而無極值點，表明該零點左右同號，故，且的由此可得 
（Ⅱ）由題意，有兩不同的正根，故.
解得： ，設的兩根為，不妨設，因為在區間上，，而在區間上，，故是的極小值點.因在區間上是減函數，如能證明則更有由韋達定理，，
令其中設 ，利用導數容易證明當時單調遞減，而，因此，即的極小值 
（Ⅱ）另證：實際上，我們可以用反代的方式證明的極值均小于.
由于兩個極值點是方程的兩個正根，所以反過來，
（用表示的關系式與此相同），這樣
即，再證明該式小于是容易的（注意，下略）.
點評：對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想的運用