Question

已知函數（其中為常數）.
(Ⅰ)當時，求函數的單調區間；
(Ⅱ) 當時，設函數的3個極值點為，且.
證明：.

Answer 1

(Ⅰ)單調減區間為,;增區間為.
(Ⅱ)利用導數研究得到，所以，
當時，，，
∴ 函數的遞增區間有和，遞減區間有，，，
此時，函數有3個極值點，且；
當時，
通過構造函數，證得當時，.

試題分析：(Ⅰ)
令可得.列表如下:

	-	-	0	+
	減	減	極小值	增

單調減區間為,;增區間為.  5分
(Ⅱ)由題，
對于函數，有
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增
∵函數有3個極值點，
從而，所以，
當時，，，
∴ 函數的遞增區間有和，遞減區間有，，，
此時，函數有3個極值點，且；
∴當時，是函數的兩個零點，  9分
即有，消去有   
令，有零點，且
∴函數在上遞減，在上遞增
要證明   
 即證
構造函數，=0
只需要證明單調遞減即可.而， 在上單調遞增,
∴當時，. １４分
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構造新函數，研究其單調性及最值，而達到目的。本題（II）難度較大。