Question

已知數列的前項和為，且滿足：， N^*，.
（1）求數列的通項公式；
（2）若存在 N^*，使得，，成等差數列，試判斷：對于任意的N^*，且，，，是否成等差數列，并證明你的結論.

Answer 1

（1）
（2）對于任意的，且，成等差數列

（1）由已知可得，兩式相減可得，
即，又，
所以當r=0時，數列為a,0,0……,0，……；當時，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比數列，當時，。
綜上，數列的通項公式為：                (6分)
（2）對于任意的，且，是否成等差數列，證明如下：
當r=0時，由（1），知，
故對于任意的，且，7成等差數列；
當時，，。
若存在，使得成等差數列，則，
，即，
由（1），知的公比，
于是對于任意的，且，，從而，
，即成等差數列。
綜上，對于任意的，且，成等差數列。                (12分)