Question

已知數列，.
（1）求證：數列為等比數列；
（2）數列中，是否存在連續的三項，這三項構成等比數列？試說明理由；
（3）設，其中為常數，且，
，求.

Answer 1

解：⑴∵=，∴
，
∵∴為常數∴數列為等比數列
⑵取數列的連續三項，
∵，
，∴，即，
∴數列中不存在連續三項構成等比數列；            
⑶當時，，此時；
當時，為偶數；而為奇數，此時；
當時，，此時；
當時，，發現符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。
由得，
設，則是上的減函數，∴的解只有一個
從而當且僅當時，即，此時；
當時，，發現符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。
從而當且僅當時，即，此時；
綜上，當，或時，；
當時，，
當時，。      

略