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（2012•張掖模擬）已知{bn}是公比大于1的等比數列，它的前n項和為Sn，若S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差數列，且a1=1，an=bn•（
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
）（n≥2）．
（1）求bn；
（2）證明：（1+
1
a1
）（1+
2
a2
）…（1+
n
an
）＜e3（其中e為自然對數的底數）．
分析：（1）利用S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差數列，求出公比與首項，即可得出通項公式；
（2）由題意，要證明：（1+
1
a1
）（1+
2
a2
）…（1+
n
an
）＜e3，只需證ln2+ln（1+
2
22-2
）+…+ln（1+
n
2n-2
）＜3．令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0），證明ln（1+x）＜x，進而只要證明ln2+ln（1+
2
22-2
）+…+ln（1+
n
2n-2
）＜ln2+
2
2
+…+
n
2n-1
，利用錯位相減法求和，即可得到結論．
解答：（1）解：∵S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差數列，
∴
b1(1+q+q2)=14
6b1q=b1+b1q2+14

∴2q2-5q+2=0
∴q=2或q=
1
2

∵q＞1
∴q=2，∴b1=2
∴bn=2n；
（2）證明：當n≥2時，an=bn•（
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
）=2n-2
∴1+
n
an
=1+
n
2n-2
．
要證明：（1+
1
a1
）（1+
2
a2
）…（1+
n
an
）＜e3，
只需證ln2+ln（1+
2
22-2
）+…+ln（1+
n
2n-2
）＜3．
令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0）
則f′（x）=
1
1+x
-1=
-x
1+x
＜0，∴f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，
∵f（0）=0，
∴當x＞0時，f（x）＜0，即ln（1+x）＜x．
從而當n≥2時，ln（1+
n
2n-2
）＜
n
2n-2
＜
n
2n-1

∴ln2+ln（1+
2
22-2
）+…+ln（1+
n
2n-2
）＜ln2+
2
2
+…+
n
2n-1

令Tn=
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
①
∴
1
2
Tn=
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
②
①-②得
1
2
Tn=1+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=
3
2
-
n+2
2n

∴Tn=3-
n+2
2n-1
＜3
∴（1+
1
a1
）（1+
2
a2
）…（1+
n
an
）＜e3．
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，數列通項公式的求法，考查不等式的證明，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．
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