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已知函數及正整數數列. 若,且當時,有; 又,,且對任意恒成立. 數列滿足:.

(1) 求數列及的通項公式;

(2) 求數列的前項和；

(3) 證明存在，使得對任意均成立

解析：(1) 由得： .因為是正整數列,所以.于是是等比數列.  又,, 所以 .                              

因為 ,所以,于是:,說明是以2為公比的等比數列. 所以

因為, 由題設知： ，解得：。

又因為且，所以。

于是。

(2) 由得：.由及得：

設                ①

　　　　　　　　②

當時，①式減去②式, 得

于是,

這時數列的前項和．

當時，．這時數列的前項和．

(3) 證明：通過分析，推測數列的第一項最大，下面證明：

　　　　                ③

由知，要使③式成立，只要，

因為

．

所以③式成立．

因此，存在，使得對任意均成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2x+3
3x
，數列an滿足a1=1，an+1=f(
1
an
)，n∈N*．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，求a2n-1-a2n+1及Tn；
（3）令bn=
1
an-1an
(n≥2)，b1=1，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn＜
m-2004
2
對一切n∈N*成立，求最小正整數m．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3（ax+b）圖象過點A（2，1）和B（5，2），設an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數a；
（Ⅲ）對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，記為{bn}，設Tn是數列{bn}的前n項和，試問是否存在正整數m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+x及兩個正整數數列{an}，{bn}若a1=3，an+1=f'（an）對任意n∈N*恒成立，且b1=1，b2=λ，且當n≥2時，有
b
2
n
-1＜bn+1bn-1＜
b
2
n
+1；又數列{cn}滿足：2（λbn+cn-1）=2nλbn+an-1．
（1）求數列{an}及{bn}的通項公式；
（2）求數列{cn}的前n項和Sn；
（3）證明存在k∈N*，使得
Cn+1
cn
≤
Ck+1
ck
對任意n∈N*均成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(本小題滿分14分) 已知函數及正整數數列. 若,且當時,有; 又,,且對任意恒成立. 數列滿足:.

(1) 求數列及的通項公式;

(2) 求數列的前項和；

(3) 證明存在，使得對任意均成立．

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