Question

（本題12分）在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點E在SD上，且，如下圖。

（1）求證：平面ABCD；
（2）求二面角E—AC—D的正切值．

Answer 1

（1）證明思路，為正方形，，，
因為，ABBC，所以BC平面SAB，推出SA平面ABCD，
（2）

解析試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，

為正方形，所以在圖中，，
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
因為，ABBC，
所以BC平面SAB，
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，
（2）解法一： 在AD上取一點O，使，連接EO。
因為，所以EO//SA
所以EO平面ABCD，過O作OHAC交AC于H，連接EH，
則AC平面EOH，所以ACEH。
所以為二面角E—AC—D的平面角，
在中，
，即二面角E—AC—D的正切值為
解法二：如圖，以A為原點建立直角坐標系，

 
易知平面ACD的法向為
設平面EAC的法向量為
 
由，所以，可取
所以
所以
所以,即二面角E—AC—D的正切值為
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題解答利用兩種解法作答，各有所長。