Question

填空題
（1）已知，則sin2x的值為________．
（2）已知定義在區間上的函數y=f（x）的圖象關于直線對稱，當時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數a的取值范圍為________．

（3）設向量滿足，，，若，則的值是________．

Answer 1

解：（1）∵===2cos（+x），
∴cos（+x）=，∴sin2x=-cos（+2x）=-[2-1]=-（- ）=，
故答案為 ．
（2）依題意作出函數y=f（x）在區間[0，]上的簡圖，當直線y=a與函數y=f（x）的圖象有交點時，則可得-1≤a≤0．
①當＜a≤0，f（x）=a有2個解，②當時，f（x）=a有3個解，
③當-1＜a時，f（x）=a有4個交點，④a=-1時，f（x）=a有2個交點，
故方程f（x）=a有四個不同的解，則實數a的取值范圍為，
故答案為 ．

（3）由題意可得==0，∴，=．
再由 ，可得=1．
再由，=-（） 可得 ==+2=2．
∴=4，
故答案為4．
分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡已知條件可得cos（+x）=，由sin2x=-cos（+2x），利用二倍角的余弦公式求出結果．
（2）作函數f（x）的圖象，分析函數的圖象得到函數的性質，分類討論后，結合方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為S，即可得到答案．
（3）由條件求得 ，=1，再由得 ==+2=2，即可求得值．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數的圖象及性質，兩個向量的數量積的定義，數量積公式的應用，體現了轉化、數形結合、分類討論的數學思想，屬于中檔題．