Question

定義域為R的函數f(x)=

-2x+1

2x+1+2

，若對任意的 t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先用定義判斷函數f（x）的奇偶性、單調性，由奇偶性、單調性可把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉化為具體不等式，根據二次函數的圖象特征可得k的限制不等式，解出即可．

解答：解：定義域R關于原點對稱，且f（-x）=

-2-x+1

2-x+1+2

=

-1+2x

2+2x+1

=-f（x），
所以f（x）為奇函數，
又f（x）=-

2x+1-2

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，則f（x）為減函數．
由f（x）為奇函數得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化為f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
由f（x）單調遞減得，t²-2t＞k-2t²，
所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，等價于t²-2t＞k-2t²恒成立，即3t²-2t-k＞0對任意t恒成立，
所以有4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是：k＜-

1

3

．
故答案為：k＜-

1

3

．

點評：本題考查函數奇偶性、單調性的判斷及應用，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．