Question

已知函數(shù)，設(shè)曲線在與軸交點(diǎn)處的切線為，為的導(dǎo)函數(shù)，滿(mǎn)足．

（1）求；

（2）設(shè)，，求函數(shù)在上的最大值；

（3）設(shè)，若對(duì)于一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ；（3）．

【解析】

試題分析：（1）三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，由，知其對(duì)稱(chēng)軸，曲線的切線問(wèn)題，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切點(diǎn)處切線的斜率)列出方程組求解；（2），畫(huà)出函數(shù)圖象考察其單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)區(qū)間對(duì)的值分類(lèi)討論求出其最大值；（3）對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得恒成立，即，且，對(duì)任意的成立，然后又轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，要注意，從而有.

試題解析：（1），∵，

∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，       2分

∵曲線在與軸交點(diǎn)處的切線為，∴切點(diǎn)為，

∴，解得，則        5分

（2）∵，

∴，其圖象如圖           7分

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

綜上                 10分

（3），，

當(dāng)時(shí)，，所以不等式等價(jià)于恒成立，

解得，且，                      13分

由，得，，所以，

又，∵ ，∴所求的實(shí)數(shù)的的取值范圍是    16分

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、曲線的切線、不等式恒成立問(wèn)題.