Question

如圖橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1（-c，0）、F2（c，0）和頂點B1、B2構成面積為32的正方形．
（1）求此時橢圓G的方程；
（2）設斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B、Q為AB的中點，且P（0，-

3

3

）．問：A、B兩點能否關于直線PQ對稱．若能，求出kk的取值范圍；
若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得b=c且a²=32，可求橢圓方程
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入

x2

32

+

y2

16

=1．由直線l與橢圓相交于不同的兩點可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須KPQ=-

1

k

，利用方程的根與系數的關系代入得m=

1+2k2

3

，從而可求k得范圍

解答：解（1）：由已知可得b=c且a²=32，
所以b2=

1

2

×32=16．∴所求橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1．
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入

x2

32

+

y2

16

=1．

得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直線l與橢圓相交于不同的兩點知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須KPQ=-

1

k

設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則xQ=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，yQ=kxQ+m=

m

1+2k2

∵KPQ=

m 1+2k2 + 3 3

- 2km 1+2k2

=-

1

k

解得m=

1+2k2

3

．③
由②、③得

(1+2k2)2

3

＜32k2+16
∴-

1

2

＜k2＜

47

2

，
∵k²＞0，∴0＜k2＜

47

2

∴-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

．．
故當-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

時，A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱．

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，點關于直線的對稱得性質的應用．