Question

已知函數f(x)＝x²－(1＋2a)x＋aln x(a為常數)．
(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；
(2)當a＞0時，討論函數y＝f(x)在區間(0,1)上的單調性，并寫出相應的單調區間．

Answer 1

（1）y＝2x.（2）①當0＜a＜時，f(x)的單調增區間是(0，a)和，單調減區間是，②當a＝時，f(x)在區間(0,1)上是單調增函數．③當＜a＜1時，f(x)的單調增區間是和(a,1)，單調減區間是，④當a≥1時，f(x)的單調增區間是，單調減區間是

(1)當a＝－1時，f(x)＝x²＋x－ln x，則f′(x)＝2x＋1－，(2分)
所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.
所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為：y－2＝2(x－1)，
即：y＝2x.(6分)
(2)由題意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝ (x＞0)，
由f′(x)＝0，得x₁＝，x₂＝a，(8分)
①當0＜a＜時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1
由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，
所以函數f(x)的單調增區間是(0，a)和，單調減區間是，(10分)
②當a＝時，f′(x)＝≥0，且僅當x＝時，f′(x)＝0，?
所以函數f(x)在區間(0,1)上是單調增函數．(11分)
③當＜a＜1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，
由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，
所以函數f(x)的單調增區間是和(a,1)，單調減區間是，(13分)
④當a≥1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，
由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，
所以函數f(x)的單調增區間是，單調減區間是.(16分)