Question

已知函數f(x)= (b＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b、c的值；
(2)判斷函數F(x)=lgf(x)，當x∈［－1，1］時的單調性，并證明你的結論；
(3)若t∈R，求證：lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg.

Answer 1

(1) c=2，b=－2  (2)見解析  (3) 見解析

（1）由已知中函數的值域是[1，3]，利用判別式法，我們可以構造出一個關于b，c的方程組，解方程組即可得到b，c的值；
（2）由（1）的結論我們易給出函數F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我們可以判斷出F（x₁）與F（x₂）的大小，結合函數單調性的定義，我們易判斷出函數F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調性．
（3）根據函數的單調性得到不等式的證明，。
(1)解：設y=，則(y－2)x²－bx+y－c="0" ①
∵x∈R，∴①的判別式Δ≥0，即b²－4(y－2)(y－c)≥0，
即4y²－4(2+c)y+8c-b²≤0   ②                                                      
由條件知，不等式②的解集是［1，3］
∴1，3是方程4y²－4(2+c)y+8c-b²=0的兩根
∴c=2，b=－2，b=2(舍）
(2)任取x₁，x₂∈［－1，1］，且x₂＞x₁，則x₂－x₁＞0，且
(x₂－x₁)(1－x₁x₂)＞0，
∴f(x₂)－f(x₁)=－＞0，
∴f(x₂)＞f(x₁)，lgf(x₂)＞lgf(x₁)，即F(x₂)＞F(x₁)
∴F(x)為減函數.

即－≤u≤，根據F(x)的單調性知
F(－)≤F(u)≤F()，∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg對任意實數t成立.