Question

已知函數的導數為實數，.
（Ⅰ）若在區間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；
（Ⅲ）設函數，試判斷函數的極值點個數。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或（Ⅲ）時極值點個數0，當時兩個極值點

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，        1分
由得.
，當時，遞增；
當時，，遞減.
在區間［-1，1］上的最大值為.      2分
又.
由題意得，即，得為所求。        4分
（Ⅱ）解：由（1）得，點P（2，1）在曲線上。
當切點為P（2，1）時，切線的斜率，
的方程為.      5分
當切點P不是切點時，設切點為切線的余率，
的方程為。又點P（2，1）在上，，
，
.切線的方程為.
故所求切線的方程為或.              8分
（Ⅲ）解：.
.
.
二次函數的判別式為
得：
.令，得，或。        10分
因為，
時，，函數為單調遞增，極值點個數0；   11分
當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，
可知函數有兩個極值點.                12分
點評：利用導數的幾何意義：函數在某一點處的導數值等于該點處的切線斜率，利用幾何意義在求解第二問時需分點是否在曲線上兩種情況；函數在閉區間上的最值出現在極值點或區間的邊界處，函數存在極值需滿足函數的導數值有正有負