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（2012•湖北模擬）已知定義域為（O，+∞）的單調函數f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+log
1
2
x]=3”，則方程f（x）=2+
x
的解的個數是（　　）
分析：由題設知必存在唯一的正實數a，滿足f(x)+log
1
2
x=a，f（a）=3，f(a)+log
1
2
a=a，故3+log
1
2
a=a，log
1
2
a=a-3，a=(
1
2
)a-3，左增，右減，有唯一解a=2，故f(x)+log
1
2
x=a=2，由此能夠導出方程f（x）=2+
x
的解的個數是2．
解答：解：∵定義域為（O，+∞）的單調函數f（x），
滿足f[f（x）+log
1
2
x]=3，f（x）=2+
x
，
∴必存在唯一的正實數a，
滿足f(x)+log
1
2
x=a，f（a）=3，①
∴f(a)+log
1
2
a=a，②
由①②得：3+log
1
2
a=a，
log
1
2
a=a-3，
a=(
1
2
)a-3，左增，右減，有唯一解a=2，
故f(x)+log
1
2
x=a=2，
f（x）=2-log
1
2
x，
由2-log
1
2
x=2+
x
，得log2x=
x
，
∴x=2
x
，
令t=
x
＞0，則t2=2t，
此方程只有兩個正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+
x
的解的個數是2．
故選B．
點評：本題考查對數的運算性質的綜合運用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為3+2
2
，3-2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若
RM
=λ
MQ
，
RN
=μ
NQ
，證明：λ+μ為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，點P在AM上，且滿足
AP
=2
PM
，則
PA
•(
PB
+
PC
)的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知函數y=g（x）的圖象由f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個單位得到，這兩個函數的部分圖象如圖所示，則φ=
π
3
π
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）設Sn是等比數列{an}的前n項和，若S1，2S2，3S3成等差數列，則公比q等于
1
3
1
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）函數f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數，且函數y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式
x-m
f(x)
＞
x
成立，求實數m的取值范圍；
（3）對于函數y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數在x0處的偏差．求證：函數y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內的所有偏差都大于2．

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