Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n+1(n≥1,n∈N^*),則數列{a_n}的通項公式是_______.

Answer 1

a_n=3^n-1

【思路點撥】根據a_n和S_n的關系轉換a_n+1=2S_n+1(n≥1)為a_n+1與a_n的關系或者S_n+1與S_n的關系.
解:方法一:由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1(n≥2),兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n,a_n+1=3a_n(n≥2).
又a₂=2S₁+1=3,
∴a₂=3a₁,故{a_n}是首項為1,公比為3的等比數列,
∴a_n=3^n-1.
方法二:由于a_n+1=S_n+1-S_n,
a_n+1=2S_n+1,
所以S_n+1-S_n=2S_n+1,S_n+1=3S_n+1,
把這個關系化為S_n+1+=3(S_n+),
即得數列{S_n+}為首項是S₁+=,
公比是3的等比數列,故S_n+=×3^n-1=×3ⁿ,
故S_n=×3ⁿ-.
所以,當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=3^n-1,
由n=1時a₁=1也適合這個公式,知所求的數列{a_n}的通項公式是a_n=3^n-1.
【方法技巧】a_n和S_n關系的應用技巧
在根據數列的通項a_n與前n項和的關系求解數列的通項公式時,要考慮兩個方面,一個是根據S_n+1-S_n=a_n+1把數列中的和轉化為數列的通項之間的關系;一個是根據a_n+1=S_n+1-S_n把數列中的通項轉化為前n項和的關系,先求S_n再求a_n.