Question

已知函數.
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當時，在函數圖象上取不同兩點A、B，設線段AB的中點為，試探究函數在Q點處的切線與直線AB的位置關系？
（3）試判斷當時圖象是否存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.

Answer 1

（1）時，函數在上單調遞增；當，函數在和上單調遞增；在上單調遞減；（2）所以函數Q點處的切線與直線AB平行；
（3）圖象不存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.

試題分析：（1）求導即可知其單調性；（2）利用導數求出函數在點Q處的切線的斜率，再求出直線AB的斜率，可看出它們是相等的，所以函數在Q點處的切線與直線AB平行；
（3）設，若滿足（2）中結論，則有
，化簡得（*）.如果這個等式能夠成立，則存在，如果這個等式不能成立，則不存在.設，則*式整理得，問題轉化成該方程在上是否有解.再設函數，下面通過導數即可知方程在上是否有解，從而可確定函數是否滿足（2）中結論.
（1）由題知，
當即時，，函數在定義域上單調遞增；
當，由解得，函數在和上單調遞增；在上單調遞減；                                             4分
（2），，

所以函數Q點處的切線與直線AB平行；            .7分
（3）設，若滿足（2）中結論，有
，即
即   （*）               .9分
設，則*式整理得，問題轉化成該方程在上是否有解； 11分
設函數，則，所以函數在單調遞增，即，即方程在上無解，即函數不滿足（2）中結論    14分