Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，不等式≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.
（1）求cosC的取值范圍；
（2）當(dāng)∠C取最大值，且△ABC的周長(zhǎng)為6時(shí)，求△ABC面積的最大值，并指出面積取最大值時(shí)△ABC的形狀.

Answer 1

（1）；（2）。

解析試題分析：（1） 需對(duì)分情況討論，cosC≠0時(shí)，則為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，則需；
（2）因?yàn)镾_△ABC=，只需求的最大值，再由余弦定理的應(yīng)用及基本不等式去求。
（1）當(dāng)cosC=0時(shí)，sinC=1，原不等式即為4x+6≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立.
當(dāng)cosC≠0時(shí)，應(yīng)有               
 ，解得（舍去）
∵C是△ABC的內(nèi)角，  ∴ 
（2）∵0<C<π， 
∴∠C的最大值為， 此時(shí)，
∴≥，
∴≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），  
∴S_△ABC=≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”），
此時(shí)，△ABC面積的最大值為，△ABC為等邊三角形。
考點(diǎn)：（1）一元二次不等式的解法；（2）余弦定理的應(yīng)用；（3）利用基本不等式求最值。