Question

已知函數f(x)=

a

2

x2+(a+1)x+2ln(x-1)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x-y+1=0平行，求出這條切線的方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜-2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

，得切線斜率為k=f'（2）=2a+3，據題設，k=2，所以a=-

1

3

，故有f(2)=

2

3

，由此能求出切線方程．
（Ⅱ）由f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

=

ax2+x-a+1

x-1

=

(x+1)(ax-a+1)

x-1

(x＞1)，知當a=0時，f′(x)=

x+1

x-1

，由于x＞1，所以f′(x)=

x+1

x-1

＞0，由此能夠討論函數f（x）的單調區間．
（Ⅲ）當a≥0時，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；當a＜0時，由（Ⅱ）知f(x)max=f(

a-1

a

)=

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)．故只需

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)＜-2，即3a+2-

1

a

＜4ln(-a)．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

，
得切線斜率為k=f'（2）=3a+3，（2分）
據題設，k=2，所以a=-

1

3

，故有f(2)=

2

3

，（3分）
所以切線方程為y-f（2）=2（x-2），
即6x-3y-10=0，（4分）
（Ⅱ）f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

=

ax2+x-a+1

x-1

=

(x+1)(ax-a+1)

x-1

(x＞1)
當a=0時，f′(x)=

x+1

x-1

，
由于x＞1，所以f′(x)=

x+1

x-1

＞0，
可知函數f（x）在定義區間（1，+∞）上單調遞增，（6分）
當a≠0時，f′(x)=

a(x+1)(x- a-1 a )

x-1

，
若a＞0，則

a-1

a

＜1，
可知當x＞1時，有f'（x）＞0，
函數f（x）在定義區間（1，+∞）上單調遞增，（8分）
若a＜0，則

a-1

a

＞1，
得當x∈(1，

a-1

a

)時，f'（x）＞0；
當x∈(

a-1

a

，+∞)時，f'（x）＜0．
所以，函數f（x）在區間(1，

a-1

a

)上單調遞增，
在區間(

a-1

a

，+∞)上單調遞減．
綜上，當a≥0時，函數f（x）的單調遞增區間是定義區間（1，+∞）；
當a＜0時，函數f（x）的單調增區間為(1，

a-1

a

)，減區間為(

a-1

a

，+∞)，（10分）
（Ⅲ）當a≥0時，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合題意，舍；
當a＜0時，由（Ⅱ）知f(x)max=f(

a-1

a

)=

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)．
故只需

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)＜-2，即3a+2-

1

a

＜4ln(-a)．（11分）
令t=-a，則不等式為-3t+2+

1

t

＜4lnt，且t＞0．
構造函數g(t)=4lnt+3t-2-

1

t

(t＞0)，
則g′(t)=

4

t

+3+

1

t2

＞0，
知函數g（t）在區間（0，+∞）上單調遞增．
因為g（1）=4ln1+3-2-1=0，所以當t＞1時，g（1）＞0，
這說明不等式-3t+2+

1

t

＜4lnt(t＞0)的解為t＞1，即得a＜-1．
綜上，實數a的取值范圍是（-∞，-1）．（14分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．