Question

已知的圖像過原點，且在點處的切線與軸平行，對任意，都有.
(1)求函數在點處切線的斜率；
(2)求的解析式；
(3)設，對任意，都有.求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）1；（2）；（3）.

試題分析：（1）先根據導數的幾何意義，知所求切線的斜率為，然后根據：對任意，都有，即可得到，進而可得；（2）先由函數圖像過原點確定，進而由導數的幾何意義與（1）中的導數值，可列出方程組即，解出，代入不等式得到，該不等式恒成立，可得，從中就可以確定的值，進而可寫出函數的解析式；（3）先將：對任意，都有等價轉化為，先利用導數求出函數的最大值為，于是變成了對恒成立問題，采用分離參數法得到時，恒成立，進一步等價轉化為，進而再利用導數確定函數的最值即可.
試題解析：（1）根據導數的幾何意義可知，函數在點處切線的斜率就是
因為對任意，都有
所以
所以即函數在點處切線的斜率為1
（2）依題意知，而
因為函數的圖像在點處的切線與軸平行
所以     ①
而       ②
由①②可解得
因為對任意，都有即恒成立

所以
（3）由（2）得
所以
當時，，此時函數單調遞減，此時
當時，，此時函數單調遞增，此時
因為
所以當時，
因為對任意，都有
所以，都有即，所以
令
所以
關注到，當時，，此時單調遞減
當時，，此時單調遞增
所以
所以.