Question

已知函數在上為增函數，，
（1）求的值；
（2）當時，求函數的單調區間和極值；
（3）若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

(1) ;
(2) 函數的單調增區間是，遞減區間為  , 有極大值為;
(3) .

試題分析：（1）因為函數在上為增函數，所以在上恒成立；由此可有，由知.
(2) 令則,根據函數單調遞增，函數單調遞減，即函數的單調增區間是，遞減區間為 ,有極大值為.
(3) 令,分情況討論：
?當時，有，，所以：
即在恒成立，此時不存在使得成立  
?當時，
∵，∴， 又，∴在上恒成立。
∴在上單調遞增，∴  
令，則故所求的取值范圍為 
（1）由已知在上恒成立    
即      ∵，∴
故在上恒成立，只需
即，∴只有，由知       3分
（2）∵，∴，
∴ （4分），
令則
的變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調增↗	極大值	單調減↘

 
即函數的單調增區間是，遞減區間為   (6分）
有極大值為         7分
（3）令，
?當時，有，，所以：
即在恒成立，
此時不存在使得成立     8分
?當時，
∵，∴， 又，∴在上恒成立。
∴在上單調遞增，∴    10分
令，
則故所求的取值范圍為  12分