Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝2，且a_n+1＝(1＋q)a_n－qa_n－1(n≥2，q≠0)．

(Ⅰ)設(shè)b_n＝a_n+1－a_n(n∈N^*)，證明{b_n}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅲ)若a₃是a₆與a₉的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的n∈N^*，a_n是a_n+3與a_n+6的等差中項(xiàng)．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：由題設(shè)，得 　　， 　　即． 　　又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)， 　　， 　　， 　　…… 　　． 　　將以上各式相加，得．所以當(dāng)時(shí)， 　　 　　上式對(duì)顯然成立． 　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故． 　　由可得，由得 　　，　　① 　　整理得，解得或(舍去)．于是 　　． 　　另一方面， 　　， 　　． 　　由①可得 　　． 　　所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)． 　　本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．