Question

已知函數f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性
（Ⅱ）若不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0對x∈[-1，0]都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定函數的定義域是否關于原點對稱，再根據奇函數和偶函數的定義判斷，即可得到答案；
（Ⅱ）對底數a分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，分別研究函數f（x）的單調性，利用函數的單調性將“f”去掉，轉化為關于x的恒成立問題，利用參變量分離法，求出分離后函數的最值，即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，函數f（x）的定義域為R，
∵f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f(x)，
∴f（x）是奇函數．
（Ⅱ）不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0可化為f(

k

ax

+2a)＜-f(-ax)，
∵f（x）是奇函數，
∴-f（-a^x）=f（a^x），
∴不等式f(-ax)+f(

k

ax

+2a)＜0等價于f(

k

ax

+2a)＜f(ax)，
由題意，f(x)=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，
①當a＞1時，y=a^x是R上的增函數，則f（x）是R上的增函數，
∴f(

k

ax

+2a)＜f(ax)?ax＞

k

ax

+2a?k＜(ax)2-2a•ax=(ax-a)2-a2對x∈[-1，0]都成立，
令t=a^x，
∵a＞1，-1≤x≤0，
∴

1

a

≤t≤1，
令u=（a^x-a）²-a²，則u=（t-a）²-a²在[

1

a

，1]上是減函數，
∴u_min=1-2a，
∴k＜u_min=1-2a，
故實數k的取值范圍是（-∞，1-2a）；
②當0＜a＜1時，y=a^x是R上的減函數，則f（x）是R上的減函數，
∴f(

k

ax

+2a)＜f(ax)?ax＜

k

ax

+2a?k＞(ax)2-2a•ax=(ax-a)2-a2對x∈[-1，0]都成立，
令t=a^x，
∵0＜a＜1，-1≤x≤0，
∴1≤t≤

1

a

，
令u=（a^x-a）²-a²，
則u=（t-a）²-a²在[1，

1

a

]上是增函數，
∴umax=

1

a2

-2，
∴k＞umax=

1

a2

-2
故實數k的取值范圍是(

1

a2

-2，+∞)．
綜合①②，實數k的取值范圍是：當a＞1時，實數k的取值范圍（-∞，1-2a）；當0＜a＜1時，實數k的取值范圍(

1

a2

-2，+∞)．

點評：本題主要考查了函數的兩大基本性質之一的函數的奇偶性．用定義判斷函數的奇偶性主要兩個基本步驟，第一步判斷函數的定義域是否關于原點對稱，第二步判斷f（-x）與f（x）的關系，同時考查了函數恒成立問題，一般選用參變量分離的方法求解．屬于中檔題．