Question

已知橢圓

x2

a2

+y²=1（a≥2），直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．
（Ⅰ）設直線AB與直線OM的斜率分別為k₁、k₂，且k₁•k₂=-

1

2

，求橢圓的離心率．
（Ⅱ）若直線AB經過橢圓的右焦點F，且四邊形OACB是平行四邊形，求直線AB斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則

x12 a2 +y12=1 x22 a2 +y22=1

，

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
又x3=

x1+x2

2

，y3=

y1+y2

2

，k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y3

x3

，再由k₁•k₂=-

1

2

能導出橢圓的離心率．
（2）由n=c，可知C（

2a2c

m2+a2

，-

2mc

m2+a2

），代入橢圓方程，得4c²=m²+a²．由kAB2=

1

m2

=

1

3a2-4

≤

1

8

，能導出k∈[-

2

4

，0)∪(0，

2

4

]．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則

x12 a2 +y12=1 x22 a2 +y22=1

，兩式相減，得：

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
又x3=

x1+x2

2

，y3=

y1+y2

2

，k1=

y1-y2

x1-x2

，k2=

y3

x3

，
可得k2•k1=-

1

a2

=-

1

2

，
∴a2=2，e=

2

2

．（5分）
（2）由n=c，可知C（

2a2c

m2+a2

，-

2mc

m2+a2

），代入橢圓方程，得
4c²=m²+a²．（10分）
又c²=a²-1，a≥2，m≠0，
∴kAB2=

1

m2

=

1

3a2-4

≤

1

8

，
∴k∈[-

2

4

，0)∪(0，

2

4

]．（12分）

點評：本題考查橢圓的離心率的求法和直線的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意橢圓性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．