Question

（2010•馬鞍山模擬）下面命題中正確的是

①②④

（寫出所有正確  命題的編號）．①?x∈R，e^x≥ex；②若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，則f（2）的值用二進制表示為111101；③若a＞0，b＞0，m＞0，則

b

a

≤

b+m

a+m

；④函數y=xlnx與y=

lnx

x

在點（1，0）處的切線相同．

Answer 1

分析：對于①用導數求函數的單調區間，先求函數的導數，再令其大于0，利用單調性即可證得．
對于②根據二進制表示為111101的表示主式即可進行判斷；
對于③根據不等式的基本性質，比較大小的方法是做差，只需將比較的兩個分式做差與零比較大小即可．

b+m

a+m

-

b

a

=

m(a+b)

a(a+m)

與零比較即可求出．
對于④利用求導法則，以及（lnx）′=

1

x

，求出函數解析式的導函數，然后把切點的橫坐標x=1代入導函數中，求出的導函數值即為所求切線即得．

解答：解：對于①：設f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0得x＞1，
∴函數f（x）的單調遞增區間為[1，+∞），單調遞減區間為（-∞，1]，∴f（x）＞f（1），即?x∈R，e^x≥ex
故①正確．
②二進制111101即：2⁵+2⁴+2³+2*2+1=f（2）
故正確；
③：∵

b+m

a+m

-

b

a

=

ab+an-ab-bm

a(a+m)

=

m(a+b)

a(a+m)

∵a＞b＞0，m＞0，∴a-b＞0，a+m＞0
∴

m(a+b)

a(a+m)

＞0
∴

a+m

b+m

＞

a

b

故③正確；
④：函數y=xlnx求導得：y′=lnx+1，
把x=1代入導函數得：y′_|x=1=ln1+1=1，
則所求相切得斜率為1．
 y′=

(lnx)′x-lnx•x′

x2

=

1-lnx

x2

，
 y'（1）=1
又當x=1時y=0
∴切線方程為y=x-1
切線相同，故④正確．
故答案為：①②④

點評：此題只要知道不等式的基本性質，學生要用做差進行因式分解與0進行比較即可．此題考查了利用導數求曲線方程上某點切線方程的斜率，求導法則運用，以及簡單復合函數的導數的求法，熟練掌握求導法則是解本題的關鍵．