Question

已知函數f(x)=

ax2+1

bx+c

(a，b，c∈R)是奇函數，又f(1)=2，f(2)=

5

2

．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x∈（0，+∞）時，討論函數的單調性，并寫出證明過程．

Answer 1

分析：（1）先利用奇函數的定義f（-x）=-f（x）求出c的值，再利用x=1和x=2的函數值列出關于a，b的方程組求出a，b即得；
（2）先任意取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號，注意變形到等價且到位．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數．
∴f（-x）=-f（x），
f(x)=

ax2+1

-bx+c

，-f(x)=

ax2+1

-bx-c

∴對任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），

ax2+1

-bx+c

=

ax2+1

-bx-c

恒成立
∴c=0（2分）
又f(1)=

a+1

b

=2，且f(2)=

4a+1

2b

=

5

2

可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）f(x)=

x2+1

x

得x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩實數，且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +1

x1

-

x 2 2 +1

x2

=

x 2 1 x2+x2-x1 x 2 2 -x1

x1x2

=

x1x2(x1-x2)+(x2-x1)

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

（7分）
當x₁，x₂∈（0，1）時，x₁x₂-1＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）（9分）
當x₁，x₂∈（1，+∞）時，x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＜0即f（x₁）＜f（x₂）（11分）
∴f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．（12分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．