Question

以下四個命題：
①在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB，則B=

π

4

；
②設

a

，

b

是兩個非零向量且|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，則存在實數λ，使得

b

=λ

a

；
③方程sinx-x=0在實數范圍內的解有且僅有一個；
④a，b∈R且a³-3b＞b³-3a，則a＞b；
其中正確的是

①②③④

．

Answer 1

分析：分別根據條件判別各命題的真假即可．①利用正弦定理化簡求角．②由|

a

•

b

|=|

a

||

b

|得出向量的夾角，根據夾角判斷是否共線．③構造函數y=sinx-x，利用導數判斷函數是單調的即可．④利用作差法進行判斷．

解答：解：①在三角形中，根據正弦定理可知bsinA=acosB等價為sinAsinB=sinAcosB，所以sinB=cosB，即B=

π

4

，所以正確．
②由|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，得|cos＜

a

，

b

＞|=1，所以

a

，

b

的夾角為0或π，所以

a

，

b

共線，所以存在實數λ，使得

b

=λ

a

，所以正確．
③設y=sinx-x，則y'=cosx-1≤0，所以函數y=sinx-x在定義域上單調遞減．因為f（0）=0，所以方程sinx-x=0在實數范圍內的解有且僅有一個，所以正確．
④因為a³-b³+3a-3b=(a-b)(a2+ab+b2+3)=(a-b)[(a+

1

2

b)2+

3

4

b2+3]，所以若a³-3b＞b³-3a，則必有a＞b成立，所以正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．