Question

（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)，

 (1)  如果且對(duì)任意實(shí)數(shù)均有,求的解析式；

 (2)  在(1)在條件下, 若在區(qū)間是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍；

 (3)  已知且為偶函數(shù)，如果，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的取值范圍是；

（3） ．

【解析】

試題分析： (1) 根據(jù)二次函數(shù)的函數(shù)值f(1)=0和函數(shù)值恒大于等于零得到及解析式。

 (2)  在(1)在條件下,要是函數(shù)單調(diào)遞增，則根據(jù)對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系分類討論得到。

 (3)  結(jié)合奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性得到不等式的證明。

解（1）∵，∴（1分）

對(duì)任意實(shí)數(shù)均有恒成立，

即對(duì)任意實(shí)數(shù)均有恒成立（2分）

當(dāng)時(shí)，，這時(shí),，它不滿足恒成立（3分）

當(dāng)時(shí)，則且

   ,（4分）

從而,∴（5分）

（2）由（1）知

∴=（6分）

在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)

或，即或

的取值范圍是（7分）

（3） ∵是偶函數(shù)，∴（8分）

故,    （9分）

∵,∴當(dāng)時(shí)

中至少有一個(gè)正數(shù)，即都是正數(shù)或一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)

若都是正數(shù)，則，所以（10分）

若一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，又

則=（11分）

綜上可得，．（12分）

考點(diǎn)：本題主要考查了二次函數(shù)與分段函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能通過解析式的特點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，來得到判別式小于等于零，從而得到解析式。