Question

設函數fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）當b＞0時，判斷函數f_n（x）在（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區間(

1

2

，1)內存在唯一的零點；
（Ⅲ）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，驗證f_n′（x）＞0，即可得到結論；
（Ⅱ）將n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，結合指數函數的性質可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（

1

2

，1）上恒成立，進而判斷出函數在區間上單調，分析區間兩端點的函數值符號關系，進而根據零點存在定理，可得答案；
（Ⅲ）將n=2，根據|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，分類討論不同情況下b的取值范圍，綜合討論結果，可得b的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：∵fn(x)=xn+bx+c，
∴fn′(x)=nxn-1+b
∵b＞0，x＞0，n∈N₊
∴f_n′（x）＞0
∴函數f_n（x）在（0，+∞）上的單調遞增；
（Ⅱ）證明：由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在(

1

2

，1)上恒成立，
∴f_n（x）=xⁿ+x-1在(

1

2

，1)單調遞增，
∵f_n（1）=1＞0，f_n（

1

2

）=(

1

2

)n-

1

2

＜0，
∴f_n（x）在區間(

1

2

，1)內存在唯一的零點；
（Ⅲ）解：當n=2時，f₂（x）=x²+bx+c
①當b≥2或b≤-2時，即-

b

2

≤-1或-

b

2

≥1，此時只需滿足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②當0≤b＜2時，即-1＜-

b

2

≤0，此時只需滿足f₂（1）-f₂（-

b

2

）≤4，即b²+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③當-2＜b＜0時，即0＜-

b

2

＜1，此時只需滿足f₂（-1）-f₂（-

b

2

）≤4，即b²-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
綜上所述：b∈[-2，2]．

點評：本題考查零點存在定理，導數法判斷函數的單調性，待定系數法求范圍，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．