Question

設a為實數，函數f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R．
（Ⅰ）求f(x)的單調區間與極值；
（Ⅱ）求證：當a＞ln2－1且x＞0時，e^x＞x²－2ax＋1．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)的單調遞減區間是(－∞，ln2)，單調遞增區間是(ln2，＋∞),極小值為f(ln2)＝e^ln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)；（Ⅱ）求證：當a＞ln2－1且x＞0時，e^x＞x²－2ax＋1．

試題分析：（Ⅰ）要求函數的單調區間和極值，需要求導，f(x)求導之后的結果f ′(x)＝e^x－2，令f ′(x)＝0，得x＝ln2，列出x，f ′(x)，f(x)的變化情況表，根據表格寫出函數的單增區間，單減區間，以及極小值為f(ln2)＝e^ln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，沒有極大值；（Ⅱ）要證明不等式，最常用的方法是構造函數g(x)＝e^x－x²＋2ax－1，求導得g′(x)＝e^x－2x＋2a，由題意，a＞ln2－1及（Ⅰ）知，則g′(x)的最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0，因而對任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R內單調遞增，那么當x∈(0，＋∞)，必有g(x)＞g(0)，而g(0)＝0，所以e^x＞x²－2ax＋1.
試題解析：（Ⅰ）由f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R知f ′(x)＝e^x－2，x∈R．
令f ′(x)＝0，得x＝ln2．
于是當x變化時，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，ln2)	ln2	(ln2，＋∞)
f ′(x)	－	0	＋
f(x)	單調遞減↘	2(1－ln2＋a)	單調遞增↗

故f(x)的單調遞減區間是(－∞，ln2)，單調遞增區間是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝e^ln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
（Ⅱ）設g(x)＝e^x－x²＋2ax－1，x∈R．
于是g′(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R．
由（Ⅰ）知，當a＞ln2－1時，g′(x)的最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0．
于是對任意x∈R，都有g′(x)＞0，
∴g(x)在R內單調遞增．
于是當a＞ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．
而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0．
即e^x－x²＋2ax－1＞0，故e^x＞x²－2ax＋1．