Question

如下圖，F為雙曲線C：=1(a＞0,b＞0)的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|.

（1）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式；

（2）當λ=1時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程.

Answer 1

(1)解法1：設M′為PM與雙曲線右準線的交點，F(c,0),則|PM|=|OF|=c,|OM|=|PF|=λc.

∵e=,|PM′|=|PM|-|MM′|=c-2,

∴e=，即e²-λe-2=0.

解法2：設M′為PM與雙曲線右準線的交點，N為左準線與x軸的交點，F(c,0),P(x₀,y₀).

由于P(x₀,y₀)在雙曲線右支上，則

x₀=|PM|-|ON|=c-，①

y₀²=(x₀²-a²)，②

由|PF|=λc,得λ²c²=(x₀-c)²+y₀².③

將①②代入③得

λ²c²=(-)²+［(c-)²-a²］.

再將c=ea,b=a代入上式，得

λ²e²=+(e²-1)［(e-)²-1］,

化簡，得λ²e²=(e²-2)²④

由題意，點P位于雙曲線右支上，從而|PM|＞|MM′|.于是c＞2,即e²＞2.

又λ＞0,所以由④式得e²-λe-2=0.

(2)解：當λ=1時，由e²-e-2=0,

解得e=2.從而c=2a,b==a.

由此得雙曲線的方程是=1.

下面確定a的值.

解法1：設雙曲線左準線與x軸的交點為N，P點的坐標為(x₀,y₀),則

|ON|==,

|MN|=

==a.

由于P(x₀,y₀)在雙曲線的右支上，且位于x軸上方，因而x₀=|MP|-|ON|=|OF|-|ON|=c-=,y₀=|MN|=a.

所以直線OP的斜率為

k=.

設過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則直線AB的斜率為k=,直線AB的方程為y=(x-2a).

將其代入雙曲線方程整理得

4x²+20ax-29a²=0.

∵x₁+x₂=-5a,x₁x₂=-a²,

∴|AB|=

==12a.

由|AB|=12，得a=1.

于是，所求雙曲線的方程為x²-=1.

解法2：由條件知OFPM為菱形，其對角線OP與FM互相垂直平分，其交點Q為OP的中點.

設OP的方程為y=kx(k＞0),則FM的方程為y=-(x-2a).

由

解得Q點的坐標為().

所以P點的坐標為().

將P點的坐標代入雙曲線方程，化簡得3k⁴+22k²-45=0.

解得k²=.

因k＞0,故k=.

設過焦點F且平行于OP的直線與雙曲線的交點為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，則直線AB的斜率為k=，直線AB的方程為y=(x-2a).

將其代入雙曲線方程，整理得4x²+20ax-29a²=0.

∵x₁+x₂=-5a,x₁x₂=-a²,

∴|AB|=

==12a.

由|AB|=12，得a=1.于是，所求雙曲線的方程為x²-=1.