Question

設x軸、y軸正方向上的單位向量分別為

i

、

j

，坐標平面上的點A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：①

OA1

=2

j

且

AnAn+1

=

i

+

j

；②

OB1

=2

i

且

BnBn+1

=(

3

4

)n×2

i

；求

OAn

及

OBn

的坐標；若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達式；對于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數N，當n＞N時恒有a_n+1＜a_n成立？若存在，求出N的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據①以及向量加法的三角形法則求出

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

AnAn+1

2

j

+(n-1) (

i

+

j

)=（n-1，n+1），同理求出

OBn

的坐標；
（2）由（1）可知：點A_n（n-1，n+1）都在直線y=x=2上，點B_n都在x軸上；記C（-2，0），利用分割的方法求四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n=S△CBn+1An+1-S△CAnBn，代入面積公式即可求得；
（3）由（2）知：a_n+1-a_n=5+(

3

4

)n(n-1)-[5+(

3

4

)n(n-2)]=(

3

4

)n(

5-n

4

)，分類討論即可求得結論．

解答：解：（1）

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

AnAn+1

=2

j

+(n-1) (

i

+

j

)=（n-1，n+1），

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

BnBn+1

=2

i

[1+

3

4

+(

3

4

)2 +…+(

3

4

)N-1]
=8

i

[1-(

3

4

)n]=（8[1-(

3

4

)n]，0）；
（2）由（1）可知：點A_n（n-1，n+1）都在直線y=x=2上，點B_n都在x軸上；
記C（-2，0），
則a_n=SAnBnBn+1 An+1=S△CBn+1An+1-S△CAnBn
=

1

2

[10-8(

3

4

)n]-(n+1)=5+(

3

4

)n(n-2)，
∴a_n=5+(

3

4

)n(n-2)，
（3）由（2）知：a_n+1-a_n=5+(

3

4

)n(n-1)-[5+(

3

4

)n(n-2)]=(

3

4

)n(

5-n

4

)，
當n=5時，a₅=a₆；
當n≥6時，：a_n+1-a_n＜0
所以存在最小的自然數N=5，
當n＞N時恒有：a_n+1＜a_n成立．

點評：此題是個中檔題．考查向量與數列的綜合，主要考查了向量的加法的三角形法則和坐標表示，以及數列比較大小的方法．其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．