Question

設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是

i

、

j

，坐標平面上點A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：
①

OA1

=

j

且

AnA

n+1=

i

+

j

；②

OB1

=3

i

且

BnBn+1

=(

2

3

)n ×3

i

．
（1）求

OAn

及

OBn

的坐標；
（2）若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數M，對一切（n∈N^*）都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量加法的三角形法則的推廣，及已知條件①

OA1

=

j

且

AnA

n+1=

i

+

j

；②

OB1

=3

i

且

BnBn+1

=(

2

3

)n ×3

i

．得到

OAn

及

OBn

的坐標；
（2）設A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點p，結合圖形表示出四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，
（3）求出an-an+1= (n-4)×(

2

3

)n-1，推廣對n的討論得到a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆0，
a₆-a₇＞0，求出數列中最大值為a4=a5=5+

8

9

，求出M．

解答：解：（1）

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=

j

+(n-1)(

i

+

j

)=(n-1)

i

+n

j

=(n-1，n)．

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

Bn-1Bn

=3

i

+(

2

3

)1×3

i

+(

2

3

)2×3

i

+…+(

2

3

)n-1×3

i

=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

×3

i

=(9-9×(

2

3

)n，0)．
（2）設A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點p，則有
an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=

1

2

[10-9×(

2

3

)n+1]×(n+1)-

1

2

[10-9×(

2

3

)n]×n
=5+(n-2)×(

2

3

)n-1．
（3）an-an+1=[5+3(n-2)×(

2

3

)n-1]-[5+3(n-1)×(

2

3

)n]=3×(

2

3

)n-1[(n-2)-(n-1)×(

2

3

)]=(n-4)×(

2

3

)n-1．
∴a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，等等．
即在數列{a_n}中，a4=a5=5+

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9

是數列的最大項，所以存在最小的自然數M=6，對一切n∈N^*，都有a_n＜M成立．

點評：本題考查解決數列的問題關鍵是求出數列的通項，根據通項的特點，選擇合適的方法來解決，在高考題中數列出現在解答題中，屬于難題．