Question

如圖，點A，B是單位圓O上的兩點，點C是圓O與x軸正半軸的交點，將銳角α的終邊OA按逆時針方向旋轉

π

3

到OB．
（Ⅰ）若A的坐標為（

3

5

，

4

5

），求點B的橫坐標；
（Ⅱ）若△ABC的面積為

3

4

，求角α的大小．

Answer 1

考點：弧度制的應用

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）通過A的坐標為（

3

5

，

4

5

），利用兩角和與差的三角函數直接求點B的橫坐標cos（α+

π

3

）；
（Ⅱ）利用△ABC的面積為

3

4

，推出S_△ABC=S_△OAB+S_△xOA-S_△XOB，通過解三角方程即可求角α的大小．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知∠xOA=α，A的坐標為（

3

5

，

4

5

），即cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
銳角α的終邊OA按逆時針方向旋轉

π

3

到OB．
∴點B的橫坐標為cos（α+

π

3

）=cosαcos

π

3

-sinαsin

π

3

=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

；
（Ⅱ）∵△ABC的面積為

3

4

，∴S_△ABC=S_△OAB+S_△xOA-S_△XOB，
即：

3

4

=

1

2

sin

π

3

+

1

2

sinα-

1

2

sin(α+

π

3

)，
∴sinα=sin(α+

π

3

)，
∵α是銳角，
∴角α的大小為：

π

3

．

點評：本題考查任意角的三角函數的定義，兩角和與差的三角函數，考查轉化思想以及計算能力．