Question

數列{a_n}中，a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋cn(c是常數，n＝1，2，3，…)，且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數列．
(1)求c的值；
(2)求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

（1）c＝0或c＝3（2）a_n＝(n²－n＋2)

(1)a₁＝3，a₂＝3＋c，a₃＝3＋3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比數列，∴(3＋c)²＝3(3＋3c)，
解得c＝0或c＝3.
當c＝0時，a₁＝a₂＝a₃，不符合題意，舍去，故c＝3.
(2)當n≥2時，由a₂－a₁＝c，a₃－a₂＝2c，…，a_n－a_n－1＝(n－1)c，
則a_n－a₁＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c.
又∵a₁＝3，c＝3，∴a_n＝3＋n(n－1)＝(n²－n＋2)(n＝2，3，…)．
當n＝1時，上式也成立，∴a_n＝(n²－n＋2)．