Question

（2013•浙江）已知a∈R，函數f（x）=x³﹣3x²+3ax﹣3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈[0，2]時，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

（1）y=（3a﹣3）x﹣3a+4
（2）|f（x）|_max=．

（1）因為f（x）=x³﹣3x²+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x²﹣6x+3a，
故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a﹣3）x﹣3a+4；
（2）由于f′（x）=3（x﹣1）²+3（a﹣1），0≤x≤2．
故當a≤0時，有f′（x）≤0，此時f（x）在[0，2]上單調遞減，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．
當a≥1時，有f′（x）≥0，此時f（x）在[0，2]上單調遞增，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．
當0＜a＜1時，由3（x﹣1）²+3（a﹣1）=0，得，．
所以，當x∈（0，x₁）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（x₂，2）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
所以函數f（x）的極大值，極小值．
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，．
從而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
當0＜a＜時，f（0）＞|f（2）|．
又=
故．
當時，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又=．
所以當時，f（x₁）＞|f（2）|．
故．
當時，f（x₁）≤|f（2）|．
故f（x）_max=|f（2）|=3a﹣1．
綜上所述|f（x）|_max=．