Question

平面內有n(n∈N＋，n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過

同一點，證明：交點的個數f(n)＝.

 

Answer 1

見解析

【解析】(1)當n＝2時，兩條直線的交點只有一個，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，

∴當n＝2時，命題成立．

(2)假設n＝k，∈N＋，且(k>2)時，命題成立，即平面內滿足題設的任何k條直線交點個數f(k)＝k(k－1)，

那么，當n＝k＋1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線交點個數為f(k)＝k(k－1)，l與其他k條直線交點個數為k，從而k＋1條直線共有f(k)＋k個交點，

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝ (k＋1)[(k＋1)－1]，

這表明，當n＝k＋1時，命題成立．

由(1)、(2)可知，對n∈N＋(n≥2)命題都成立．