Question

如圖，是等邊三角形，，，將沿折疊到的位置，使得．

(1)求證：；
(2)若，分別是,的中點，求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)見解析；(2).

解析試題分析：(1)根據已知條件可得以及，有直線與平面垂直的判定定理可得，再根據直線與平面垂直的性質定理可得；(2)有邊的關系，設，則，再由線段，，互相垂直，以三邊所在直線為軸建立空間直角坐標系，然后求出平面的法向量為以及平面的一個法向量是，將所求二面角的余弦值問題轉化為求這兩個法向量的夾角的余弦值問題.
試題解析：(1)證明：∵，∴，
又∵，且,
∴，
∵，
∴.
(2)∵是等邊三角形，
，，
不妨設，則，
又∵，分別為、的中點，
由此以為原點，，，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則有，，，，，，
∴，.
設平面的法向量為，
則，即，
令，則，
∴.
又平面的一個法向量是，
∴，
∴二面角的余弦值為.                  .12分
考點：1.直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質定理；3.二面角；4.平面的法向量；5.空間向量的數量積及夾角