Question

（09年朝陽區(qū)統(tǒng)考）（13分）

如圖，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，點E在棱CC₁上，且CE=1.

   （Ⅰ）求證：BE∥平面AA₁D₁D；

   （Ⅱ）求二面角B―ED―C的大小；

   （Ⅲ）求證：A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

解析：解法（一）

（Ⅰ）證明： 由已知，ABCD―A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，

所以平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D,

又因為BE平面BB₁C₁C，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．                   ………………………………4分

 

（Ⅱ）解：如圖1，過C作CH⊥ED于H，連接BH．

因為ABCD―A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，

所以BC⊥平面CC₁D₁D，

所以CH是斜線BH在面CC₁D₁D上的射影,

由三垂線定理可知，BH⊥ED．

    所以∠BHC是二面角B―ED―C的平面角．

在RtECD中，易知．

因為, 所以．

在RtBCH中，,

所以.

故二面角B―ED―C的大小是．       …………………………………9分

（Ⅲ）如圖2，連結(jié)AC交BD于點O,

因為ABCD―A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，

AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD，

由三垂線定理可知，A₁C⊥BD．

連結(jié)B₁C，因為A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，

所以B₁C 是A₁C在平面BB₁C₁C上的射影．

    設(shè)B₁C交BE于F,

由已知BB₁=AA₁=4，BC=AB=2，CE=1,

所以，所以BCE∽B₁BC.   

所以∠CBE=∠BB₁C. 

又因為∠CBE+∠B₁BE=90°,  所以∠BB₁C +∠B₁BE=90°,

所以∠B₁FB=90°,    所以B₁C⊥BE.

由三垂線定理可知，A₁C⊥BE，又，

所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………14分

 

解法（二）建立空間直角坐標系A(chǔ)―xyz，如圖,

（Ⅰ）證明：

依題意可知E（2，2，1）,B（2，0，0）, 所以=（0，2，1）．

又因為, 為平面AA₁D₁D的法向量．

且，

所以，  而BE平面AA₁D₁D，

所以，BE∥平面AA₁D₁D．               …………………………………3分

（Ⅱ）因為E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),

所以=（0，2，1）, ．

  設(shè)平面BDE的法向量為,

由得  所以

所以．又面,所以為平面CDE的法向量．

因為,所以．

由圖可知,二面角的平面角小于,

所以二面角B―ED―C的大小是．   …………………………………9分

（Ⅲ）解：由題意B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，4），

因為CE=1，則E（2，2，1），

所以,, ．

由，得A₁C⊥BD,

由，得A₁C⊥BE,

又，所以A₁C⊥平面BDE．     …………………………………13分