Question

設F是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，直線l為其左準線，直線l與x軸交于點P，線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點P的直線與橢圓相交于不同兩點A、B求證：∠AFM=∠BFN．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓方程，只需求出a，b的值即可，根據|MN|=8，且|PM|=2|MF|可得a，c的值，再利用橢圓中，a，b，c的關系就可求出b值．
（2）欲證∠AFM=∠BFN，只需證明直線AF與BF傾斜角互補，即斜率互為負倒數即可，當AB斜率為0時，顯然直線AF與BF傾斜角互補，當AB斜率不為0時，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，設出A，B點坐標，把直線AF，BF的斜率用A，B點坐標表示，再根據前面求出的x₁+x₂，x₁x₂，化簡，即可判斷．

解答：解（1）∵|MN|=8∴a=4

又∵|PM|=2|MF|

，∴

a2 c -a=2(a-c)

化簡得，a²-3ac+2c²=0，兩邊同除a²，得，

2e2-3e+1=0⇒e= 1 2 或e=1(舍去)

又∵a=4，∴c=2，，

b2=a2-c2=12

∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1
（2）當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0．滿足題意
當AB的斜率不為0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程，整理得（3m²+4）y²-48my+144=0
則△=(48m)2-4×144(3m2+4)，y1+y2=

48m

3m2+4

，y1•y2=

144

3m2+4

∴kAF+kBF=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=

y1

my1-6

+

y2

my2-6

=

2my1y2-6(y1+y2)

(my1-6)(my2-6)

=0
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜上可知：恒有∠AFM=∠BFN．

點評：本題主要考查了橢圓標準方程的求法，直線與圓錐曲線位置關系的判斷，做題時注意應用韋達定理．