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已知f（x）=|x-1|-|2x+3|．
（1）f（x）≤a恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）對于任意非零實數m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f（x）恒成立，求實數x的取值范圍．
分析：（1）利用分區間討論法去掉絕對值符號，研究函數在每個區間上的單調性，從而確定函數的最大值，即可確定實數a的取值范圍
（2）先分離出f（x），再求出
|2m-1|+|1-m|
|m|
的最小值1，然后解不等式≤1即可．
解答：解：（1）當x＜-
3
2
時，f（x）=1-x+2x+3=4+x，f（x）≤f（-
3
2
）=
5
2

當-
3
2
≤x≤1時，f（x）=1-x-（2x+3）=-3x-2，f（1）=-5≤f（x）≤f（-
3
2
）=
5
2

當x＞1時，f（x）=-（1-x）-（2x+3）=-x-4，f（x）＜f（1）=-5
函數f（x）的最大值為
5
2
，要使不等式恒成立，只需a≥
5
2
，即實數a的取值范圍為[
5
2
，+∞）
不等式恒成立，即|x-1|-|2x+3|≤
|2m-1|+|1-m|
|m|
恒成立．
因為
|2m-1|+|1-m|
|m|
≥
|2m-1+1-m|
|m|
=1，
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①當x＜-
3
2
時，原不等式可以化為1-x+2x+3≤1，解得x≤-3
②當-
3
2
≤x≤1時，原不等式可以化為1-x-（2x+3）≤1，解得-1≤x≤1，
③當x＞1時，原不等式可以化為-x-4≤1，解得x＞1
綜上所述，x的取值范圍是（-∞，-3]∪[-1，+∞）
點評：本題考查絕對值不等式的解法，不等式恒成立問題，考查轉化計算、分類討論的思想方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f （x）、g（x）都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么稱h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的函數．設f （x）=x2+x、g（x）=x+2，若h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個偶函數，且h（1）=3，則函數h （x）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若k=
1
3
，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間[
1
2
，a]上的值域為[
1
a
，1]，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
及g(x)=
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1
．
（1）分別求f（x）、g（x）的定義域，并求f（x）•g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并說明理由；
（3）若a=
x2+x+1
 ， b=t
x
 ， c=x+1，是否存在滿足下列條件的正數t，使得對于任意的正
數x，a、b、c都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數學公式，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間數學公式上的值域為數學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數f（x）在區間[0，+∞）上的導函數，問是否存在實數a，滿足a＞1并且使g（x）在區間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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